Тема:
Текст сообщения:
Вы находитесь на старой версии сайта. Некоторые функции могут работать некорректно. Перейдите на новый сайт olimpiada.ru
Выбрать регион
Выбрать предмет
Войти
Выберите предмет | Все предметы закрыть
Выберите регион | Все регионы закрыть
все регионы | все предметы

Лента публикаций


05.11.2019 «Пощечина общественному вкусу», или Насколько хорошо вы разбираетесь в русском авангарде. Тест30.10.2019 Схемы участия в Московской олимпиаде школьников25.10.2019 Добавлены задания и решения муниципального этапа Всероссийской олимпиады 2018/19 учебного года из пяти регионов15.10.2019 «Ученый не должен знать все»: интервью с президентом Азиатской физической олимпиады Леоном Чуаном Квеком03.10.2019 Пустыня Израиля, парижская жара, венгерский гуляш: победители и призеры межнаров рассказывают, как провели лето02.10.2019 Перечень олимпиад школьников и их уровней на 2019/20 учебный год по предметам27.09.2019 Человек решающий: интервью с членом задачного комитета Международной математической олимпиады Гезой Кошем26.09.2019 Перечень олимпиад школьников и их уровней на 2019/20 учебный год по профилям18.09.2019 Задания и решения муниципального этапа Всероссийской олимпиады 2018/19 учебного года для подготовки17.09.2019 Незрячие дети должны участвовать не в паралимпиадах, а в соревнованиях для всех
все регионы | Математика12 февраля 2019 11:57

«Сорок детей водили хоровод»: любимые задачи организаторов Матпраздника

В этом феврале состоится юбилейный XXX Математический праздник. За прошедшие годы участники этого соревнования решили немало необычных задач. В честь этого события мы попросили математиков, которые участвуют или участвовали в организации праздника, выбрать несколько полюбившихся им заданий и предлагаем вам испытать свои силы. Удачи!

Виктор Клепцын

(6 класс, 1992 год, автор И. В. Ященко)

Петя и Витя ехали вниз по эскалатору. Посередине эскалатора хулиган Витя сорвал с Пети шапку и бросил ее на встречный эскалатор. Пострадавший Петя побежал обратно вверх по эскалатору, чтобы затем спуститься вниз и вернуть шапку. Хитрый Витя побежал по эскалатору вниз, чтобы затем подняться вверх и успеть раньше Пети. Кто успеет раньше, если скорости ребят относительно эскалатора постоянны и не зависят от направления движения?

Очень красивая задача. Я сам в 1992 году ее решал и не решил (попробовал «прорубиться» счетом и грубой силой, вполне естественно, по дороге ошибся в знаке и
получил неправильный ответ). Пока ключевая идея не произнесена, она «стоит стеной». А как только до нее додумаешься, сразу как пелена спадает с глаз, и все становится очевидным.

Марина Хачатурян

(6 класс, 2005 год)

Таракан Валентин объявил, что умеет бегать со скоростью 50 м/мин. Ему не поверили, и правильно: на самом деле Валентин всё перепутал и думал, что в метре 60 см, а в минуте – 100 секунд. С какой скоростью (в "нормальных" м/мин) бегает таракан Валентин?

Мне кажется, эта задача сочетает в себе краткость формулировки, остроумный выбор сюжета (в 2005 году Математический праздник был 14 февраля) и неожиданную и жизненную математическую составляющую: дети действительно очень часто путают 60-ричную временную систему и метрическую систему. Получилась очень естественная задача, идеальная 6.1, способная увлечь школьника, пришедшего на олимпиаду впервые.

Александр Шаповалов

(6 класс, 2016 год, автор Е. В. Бакаев)

Сорок детей водили хоровод. Из них 22 держали за руку мальчика и 30 держали за руку девочку. Сколько девочек было в хороводе?

У этой задачи очень короткое и естественное условие, она легко понимается. У нее короткое и неочевидное решение. Также она затрагивает приемы подсчета (круги Эйлера, соответствие), широко применимые не только в математике, но и за ее пределами.

Александр Хачатурян

Я занимаюсь Матпраздником много лет, и мне скорее хочется выделить задачи, которые повлияли на его дальнейшую судьбу, изменили, так сказать, его лицо.

(7 класс, 2001 год, автор Сергей Маркелов)

В книге рекордов Гиннесса написано, что наибольшее известное простое число равно  23021377 – 1.  Не опечатка ли это?

Эта задача была первой, к которой составители не побоялись написать научный комментарий. Впоследствии такие задачи – «мостики в большую науку» – мы старались давать каждый год (получалось это не всегда).

(6 класс, 2002 год, автор И. Ф. Акулич)

Художник-авангардист Змий Клеточкин покрасил несколько клеток доски размером 7×7, соблюдая правило: каждая следующая закрашиваемая клетка должна соседствовать по стороне с предыдущей закрашенной клеткой, но не должна соседствовать ни с одной другой ранее закрашенной клеткой. Ему удалось покрасить 31 клетку.

Побейте его рекорд – закрасьте а) 32 клетки; б) 33 клетки.

(7 класс, 2002 год, автор А. С. Чеботарев)

Художник-авангардист Змий Клеточкин покрасил несколько клеток доски размером 8×8, соблюдая правило: каждая следующая закрашиваемая клетка должна соседствовать по стороне с предыдущей закрашенной клеткой, но не должна — ни с одной другой ранее закрашенной клеткой. Ему удалось покрасить 36 клеток. Побейте его рекорд! (Жюри умеет закрашивать 42 клетки!)

Задачи про художника Змия Клеточкина так понравились ребятам, что породили новый формат задач-«догонялок», когда полное решение сложно для детей (а иногда и вообще неизвестно), и участникам предлагается получить пусть и не окончательный, но как можно лучший результат.

(6 класс, 2007, автор И. В. Раскина)

Кощей Бессмертный похитил у царя трех дочерей. Отправился Иван-царевич их выручать. Приходит он к Кощею, а тот ему и говорит: «Завтра поутру увидишь пять заколдованных девушек. Три из них – царевы дочери, а еще две – мои. Для тебя они будут неотличимы, а сами друг дружку различать смогут. Я подойду к одной из них и стану у нее спрашивать про каждую из пятерых: "Это царевна?". Она может отвечать и правду, и неправду, но ей дозволено назвать царевнами ровно двоих (себя тоже можно называть). Потом я так же опрошу каждую из остальных девушек, и они тоже должны будут назвать царевнами ровно двоих. Если после этого угадаешь, кто из них и вправду царевны, отпущу тебя восвояси невредимым. А если еще и догадаешься, которая царевна старшая, которая средняя, а которая младшая, то и их забирай с собой». Иван может передать царевнам записку, чтобы научить их, кого назвать царевнами. Может ли он независимо от ответов Кощеевых дочерей

а) вернуться живым?
б) увезти царевен с собой?

Эта сложная и очень красивая задача настолько удачно заняла место в конце варианта 6 класса, что породила традицию ставить на эту позицию «сказку» – задачу с «закрученным» сюжетом, в которой ребёнку вместе с героем нужно сделать что-то хорошее – спасти принцессу, изобличить преступника и так далее.

(6 класс, 2012 год, автор А. В. Хачатурян)

Известно, что Шакал всегда лжет, Лев говорит правду, Попугай просто повторяет последний услышанный ответ (а если его спросить первым, ответит как попало), а Жираф дает честный ответ, но на предыдущий заданный ему вопрос (а на первый вопрос отвечает как попало). Мудрый Ежик в тумане наткнулся на Шакала, Льва, Попугая и Жирафа и решил выяснить, в каком порядке они стоят. Спросив всех по очереди «Ты Шакал?», он понял только лишь, где Жираф. Спросив всех в том же порядке: «Ты Жираф?», он смог еще понять, где Шакал, но полной ясности так и не наступило. И лишь после того как на вопрос «Ты Попугай?» первый ответил «Да», Ежу, наконец, стало ясно, в каком порядке стояли животные. Так в каком же?

(«Как попало» означает, что один из ответов «Да» или «Нет» выбирается произвольно.)

Неловко отмечать свою задачу, но одна из самых трудных за всю историю матпраздников задача-«сказка» хоть и поддалась на олимпиаде всего нескольким участникам, зато подтолкнула известного учителя математики, ныне завкафедрой математики школы «Летово» Дмитрия Эммануиловича Шноля придумать на ее основе игру, в которую сейчас играют на математических кружках! Она описана в главе «Африканские игры» книги «Логические задачи» (Раскина И. В., Шноль Д. Э., М.: МЦНМО, 2013).

Григорий Мерзон

(7 класс, 2001 год, автор А.  Шень)

В стене имеется маленькая дырка (точка). У хозяина есть флажок следующей формы (см. рисунок).

Покажите на рисунке все точки, в которые можно вбить гвоздь, так чтобы флажок закрывал дырку.

В этой задаче понятное и естественное условие, решать ее может и младшеклассник. Но при размышлении над тем, что же здесь происходит, сама собой возникает вполне содержательная тема геометрических преобразований (в данном случае, центральной симметрии).

Татьяна Голенищева-Кутузова

(7 класс, 2003 год, автор А. С. Чеботарев)

Квадратную салфетку сложили пополам, полученный прямоугольник сложили пополам еще раз (см. рисунок). Получившийся квадратик разрезали ножницами (по прямой). Могла ли салфетка распасться а) на 2 части? б) на 3 части? в) на 4 части? г) на 5 частей? Если да — нарисуйте такой разрез, если нет — напишите слово «нельзя».

На кружке я обычно даю ребятам бумагу и ножницы, чтобы они могли попробовать, проверить свои предположения, поэкспериментировать. Такие задачи помогают показать, что математика – это наука про жизнь, а не только про какие-то формальные понятия.

(7 класс, 2012 год, автор И. В. Ященко)

Квадрат 3×3 заполнен цифрами так, как показано на рисунке слева. Разрешается ходить по клеткам этого квадрата, переходя из клетки в соседнюю (по стороне), но ни в какую клетку не разрешается попадать дважды.

Петя прошел, как показано на рисунке справа, и выписал по порядку все цифры, встретившиеся по пути, – получилось число 84937561. Нарисуйте другой путь так, чтобы получилось число побольше (чем больше, тем лучше).

Во-первых, даже ребенок совсем без олимпиадного опыта может продвинуться в этой задаче, придумать число больше числа Пети. Кроме того, если при обсуждении того, почему получено самое большое возможное число, хорошо вводить раскраски и учить доказывать с их помощью. Поэтому занятие по раскраскам на кружке я люблю начинать с этой задачи.

(6 класс, 2016 год, автор А. В. Хачатурян)

Робот придумал шифр для записи слов: заменил некоторые буквы алфавита однозначными или двузначными числами, используя только цифры 1, 2 и 3 (разные буквы он заменял разными числами). Сначала он записал шифром сам себя: РОБОТ = 3112131233. Зашифровав слова КРОКОДИЛ и БЕГЕМОТ, он с удивлением заметил, что числа вышли совершенно одинаковыми! Потом Робот записал слово МАТЕМАТИКА. Напишите число, которое у него получилось.

Эту задачу я люблю за необычную и очень симпатичную детям формулировку. И вроде тут непонятно, откуда можно взять ответ? Ведь в словах РОБОТ, КРОКОДИЛ и БЕГЕМОТ нет буквы «А», и тем не менее, условия хватает, чтобы понять, как зашифровано слово МАТЕМАТИКА.

Иван Ященко

Мне кажется, очень сложно придумывать задачи, которые будут с одной стороны, достаточно «простыми», доступными 6-7-классникам, а с другой, изящными, нестандартными, дающими возможность проявить себя не только «кружковцам-профессионалам», но и ребятам, для которых Математический праздник - может быть, первый опыт решения задач «которым не учили». И я люблю Математический праздник еще и потому, что составляется он замечательной компанией: кто-то кидает идею задачи, кто-то доводит до совершенства ее формулировку, кто-то просто участвует в обсуждении… В результате рождаются задачи, которые потом расходятся по кружкам, книгам, интернету. Выделить несколько, разумеется, тяжело.

7 класс, 2006 год

Наташа сделала из листа клетчатой бумаги календарь на январь 2006 года (см. рисунок) и заметила, что центры клеток 10, 20 и 30 января образуют равнобедренный прямоугольный треугольник. Наташа предположила, что это будет верно и в любом другом году, за исключением тех лет, когда центры клеток 10, 20 и 30 лежат на одной прямой. Права ли Наташа?

Условие задачи содержит очень яркий красивый факт.

7 класс, 2013 год, автор А. В. Шаповалов

Три квадратные дорожки с общим центром отстоят друг от друга на 1 м (см. рис.). Три муравья стартуют одновременно из левых нижних углов дорожек и бегут с одинаковой скоростью: Му и Ра против часовой стрелки, а Вей по часовой. Когда Му добежал до правого нижнего угла большой дорожки, двое других, не успев ещё сделать полного круга, находились на правых сторонах своих дорожек, и все трое оказались на одной прямой. Найдите стороны квадратов.

Это одна из задачных жемчужин постоянного автора задач Математического праздника Александра Шаповалова

6 класс, 2001 год, авторы Т. И. Голенищева-Кутузова, В. А. Клепцын

Вифсла, Тофсла и Хемуль играли в снежки. Первый снежок бросил Тофсла. Затем в ответ на каждый попавший в него снежок Вифсла бросал 6 снежков, Хемуль – 5, а Тофсла – 4. Через некоторое время игра закончилась. Найдите, в кого сколько снежков попало, если мимо цели пролетели 13 снежков. (В себя самого снежками не кидаются и один снежок не может попасть в двоих).

Это хороший пример задачи, в которой за краткостью формулировки скрывается множество условий и ограничений и которая показывает ребятам, что надо не бояться «покопаться в задаче»… у нее много решений, как формальных алгебраических, так и путем разбора разных случаев.

6 класс, 2012 год, автор И. В. Раскина

Торт упакован в коробку с квадратным основанием. Высота коробки вдвое меньше стороны этого квадрата. Ленточкой длины 156 см можно перевязать коробку и сделать бантик сверху (как на рисунке слева). А чтобы перевязать ее с точно таким же бантиком сбоку (как на рисунке справа), нужна ленточка длины 178 см. Найдите размеры коробки.

Изящное сочетание пространственного воображения и алгебры.

7 класс, 2016 год, авторы С. К. Смирнов, И. В. Ященко

По поверхности планеты, имеющей форму бублика, проползли, оставляя за собой следы, две улитки: одна по внешнему экватору, а другая по винтовой линии (см. рис.). На сколько частей разделили поверхность планеты следы улиток? (Достаточно написать ответ.)

Это задача на пространственное воображение с удивительным ответом. Чтобы его продемонстрировать на разборе, мы реально разрезали надувной спасательный круг.

Почти все задачи, которые мы даем на Математическом празднике, оригинальны, придуманы специально. Ведь составить олимпиаду из красивых, но известных задач – не так уж и сложно, а вот из новых – это долгая работа многих людей. Однако, конечно, иногда мы «переоткрываем» что-то, что уже было, а иногда, после раздумий, даем яркие, не широко известные потенциальным участникам задачи. Ниже два примера:

7 класс, 1999 год

Два пешехода вышли на рассвете. Каждый шел с постоянной скоростью. Один шел из A в B, другой – из B в A. Они встретились в полдень и, не прекращая движения, пришли: один – в B в 4 часа вечера, а другой – в A в 9 часов вечера. В котором часу в тот день был рассвет?

Эта задача была отобрана В. И. Арнольдом в его замечательный сборник «Задачи от 5 до 15 лет».

6 класс, 1997 год

Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама – за 2, малыш – за 5, а бабушка – за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя.)

На вид это стандартная задача, но решать ее непросто, так как это иллюстрация того, что последовательные «улучшения» неоптимального решения («метод градиентного спуска») могут привести в ложный локальный минимум.
Впервые она была опубликована в обсуждениях на форуме. Автор неизвестен.

Если вы заметили ошибку или опечатку в тексте, выделите ее курсором и нажмите Ctrl + Enter Система Orphus


Комментарии:
Авторизуйтесь, чтобы оставить комментарий
Ок

Автор:

Ксения Донская

Публикации автора


15.10.2019 «Ученый не должен знать все»: интервью с президентом Азиатской физической олимпиады Леоном Чуаном Квеком03.10.2019 Пустыня Израиля, парижская жара, венгерский гуляш: победители и призеры межнаров рассказывают, как провели лето27.09.2019 Человек решающий: интервью с членом задачного комитета Международной математической олимпиады Гезой Кошем16.09.2019 «Зайти в тупик совсем не стыдно»: интервью с председателем жюри Олимпиады мегаполисов Леоном Чуаном Квеком01.07.2019 «Природа интересна всем»: сотрудники Дарвиновского музея рассказывают об участии в «Музеях. Парках. Усадьбах»