Весенний турнир — лично-командная олимпиада для учащихся пятых–шестых классов, проводится в одни из первых выходных апреля. Участвуют команды школ (математических кружков). В составе каждой команды — восемь человек, разрешено участие неполных команд, а также участие пятиклассников только в личном туре.

Для пятиклассников – зачет индивидуальный и командный, для шестиклассников – зачет только командный. 

Заявки на участие подаются заранее координатору; в команде – 8 пятиклассников и (или) 8 шестиклассников.

Идея проведения отдельного математического соревнования для пятиклассников возникла при обсуждении итогов второго зимнего турнира Архимеда для 6–7 классов, который в то время только начинал завоевывать популярность. Сразу было решено, что олимпиада станет лично-командной, чтобы дать возможность школьникам проявить себя как в индивидуальной, так и в коллективной учебной деятельности.

Родоначальниками Весеннего Турнира Архимеда стали учителя математики: А. Д. Блинков (школа №218, ныне – Центр образования №218), А. А. Волкова (школа №235, ныше Лицей №1581), А. З. Гурвиц (школа №244), А. Ф. Пенкин (школа №52, ныне – гимназия №1514) и П. В. Чулков (школа №5, ныне ФМШ №2007), образовавшие оргкомитет первого весеннего турнира.

В Турнире, состоявшемся 11 апреля 1993 года в школе №5 Юго-Западного округа, приняло участие восемь команд пятиклассников из перечисленных школ. Начиная со следующего года турнир стал проводиться и для шестиклассников.